Geometria differenziale di curve e superfici: un'introduzione illustrata in ℝ² e ℝ³, con esercizi

Abstract

Questo testo è un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici del piano e dello spazio euclideo, pensata per chi ha già familiarità con l'analisi in più variabili e l'algebra lineare e vuole comprendere che cosa significhi misurare la curvatura di un oggetto, come si calcola e perché i teoremi fondamentali siano veri. Il percorso si articola in sei capitoli: gli strumenti preliminari di analisi e algebra lineare; le curve piane, con la curvatura con segno κ = det(α',α'')/‖α'‖³, il cerchio osculatore e l'indice di rotazione; le curve nello spazio, con il riferimento di Frenet (T,N,B), le equazioni T' = κ N, N' = -κ T + τ B, B' = -τ N, e il teorema fondamentale che mostra come la coppia (κ,τ) determini la curva a meno di isometrie proprie; le superfici regolari e la prima forma fondamentale I = E du² + 2F dudv + G dv², che codifica lunghezze, angoli e aree; la curvatura delle superfici, con la mappa di Gauss, l'operatore forma A = -dN, le curvature principali k₁,k₂, la curvatura di Gauss K = k₁ k₂ e la curvatura media H = 1/2(k₁+k₂); infine la geometria intrinseca, con il Theorema Egregium di Gauss che stabilisce l'intrinsecità di K, le geodetiche e la relazione di Clairaut, e il teorema di Gauss–Bonnet iint_S K dA = 2πχ(S) = 2π(2-2g) che lega la curvatura alla topologia. Ogni enunciato è dimostrato oppure esplicitamente indicato come «enunciato senza dimostrazione», con riferimento bibliografico. Il testo è corredato di figure realizzate con TikZ e pgfplots, di esempi svolti (circonferenza, ellisse, cicloide, elica circolare, cubica gobba, sfera, cilindro, toro, elicoide, catenoide, pseudosfera) e di esercizi a tre livelli di difficoltà, con soluzioni sintetiche per quelli contrassegnati. Tutte le formule numeriche citate negli esempi e nelle soluzioni sono state verificate al calcolatore.

Parole chiave

• geometria differenziale
• curve e superfici
• curvatura
• torsione
• riferimento di Frenet
• prima forma fondamentale
• seconda forma fondamentale
• operatore forma
• curvatura di Gauss
• curvatura media
• Theorema Egregium
• geodetiche

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