Prime-shift operators on Björner's complex of squarefree integers: spectral obstruction, kernel structure, and a Toeplitz–Hankel pipeline for the Guinand–Weil explicit formula

Abstract

Let Δ_n denote Björner's simplicial complex on the squarefree integers m ≤ n and let H_n = Σ_p≤n c_p (T_p + T_p*) be the self-adjoint operator obtained from the prime-shift operators T_p with bounded weights c_p. We present a corrected analysis of H_n and of the Toeplitz pencil constructed from the Guinand–Weil explicit formula. We establish structural properties of H_n, correct several statements of earlier versions, give a closed form for the density of the maximal part of ker A, and revisit the Toeplitz pencil: the prefactor of the prime-power term is 1/(4σ√π), and the value 1/(8πσ√π) of the first revision is withdrawn. We prove an exact-recovery theorem for the pencil and discuss a Hankel–ESPRIT pipeline with its structural bottlenecks. No proof of the Riemann Hypothesis is claimed.

Parole chiave

• Riemann zeta function
• explicit formula
• Toeplitz pencil
• Hankel-ESPRIT
• Hilbert–Pólya
• Björner complex
• squarefree integers
• Mertens function

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